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发布时间:2019-02-27

本文共 1548 字,大约阅读时间需要 5 分钟。

题目连接:

 

题意:求出由全8组成的数的最短长度,使得给定的L能整除它。

分析:先分析公式,可以发现一个全由A组成的数的表示形式为:,所以全8组成的数为:

 

L能整除它,则有:,亦即:,则应该先约去8与9L的最大公约数。

因为8与9互素,所以实际上就是约去8与L的最大公约数。

所以进一步有:

设gcd(a,m)=1,必有正整数x,使得a^x=1(mod m),且设满足等式的最小正整数为x0,必满足x0|phi(m).注意m>1.

否则如果gcd(a,m)!=1,则方程a^x=1(mod m)没有解。

个人补充:

∵ 8*(10^x - 1 ) / 9 能整除 L

假设 8*(10^x - 1 ) / (9*L) == p ( p 为整数)

∴ 8*(10^x - 1 ) == 9*p*L   ==》 8*(10^x - 1 ) =0 mod(9*L)

∵ 8*(10^x - 1 ) == 9*p*L    两边同时约去 gcd(8,L)   得到 p1*(10^x - 1) == 9*p*L/gcd(8,L)

∴ 10^x - 1 == 9*k*L / gcd(8,L)   其中,k = p / p1

于是有 

 

还有另一种思路:

 

 

 

#include
#include
#include
#include
using namespace std;typedef long long LL;LL dp[1000005];LL gcd(LL a,LL b){ return b? gcd(b,a%b):a;}LL phi(LL n){ // 欧拉函数 LL rea = n; for(LL i=2;i*i <= n;i++){ if(n % i == 0){ rea = rea - rea / i ; while(n % i == 0) n /= i; } } if(n > 1) rea = rea - rea / n; return rea;}LL Mul(LL a,LL b,LL m){ LL ans = 0; while(b){ if(b & 1){ ans = (ans+a) % m; b--; } b >>= 1; a = (a+a) % m; } return ans;}LL quick_mod(LL a,LL b,LL m){ LL ans = 1; a %= m; while(b){ if(b & 1) { ans = Mul(ans,a,m); b--; } b >>= 1; a = Mul(a,a,m); } return ans;}int main(){ int k=1; LL l,m; while(scanf("%lld",&l) != EOF){ if(l == 0) break; printf("Case %d: ",k++); m = 9*l/gcd(8,l); if(gcd(10,m) != 1){ // 无解情况 puts("0"); continue; } LL ans = phi(m); LL size = 0; for(LL i=1;i*i<=ans;i++){ //记录 phi(m) 的因子。 if(ans % i == 0){ dp[size++] = i; if(ans != i*i) dp[size++] = ans / i; } } sort(dp,dp+size); LL i; for(i=0;i

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